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高一数学知识总结(优选16篇)

时间:2023-09-22 14:02

【第1篇】2023高一数学知识点总结集合

XX高一数学集合知识点总结

一.知识归纳:

1.集合的有关概念。

1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

4)常用数集:n,z,q,r,n*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集:若对x∈a都有x∈b,则a b(或a b);

2)真子集:a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ,且 )

3)交集:a∩b={x| x∈a且x∈b}

4)并集:a∪b={x| x∈a或x∈b}

5)补集:cua={x| x a但x∈u}

注意:①? a,若a≠?,则? a ;

②若 , ,则 ;

③若 且 ,则a=b(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集运算的性质

①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

二.例题讲解:

【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z},则m,n,p满足关系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一:从判断元素的共性与区别入手。

解答一:对于集合m:{x|x= ,m∈z};对于集合n:{x|x= ,n∈z}

对于集合p:{x|x= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。

分析二:简单列举集合中的元素。

解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,

= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

变式:设集合 , ,则( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解:

当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b

【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a*b的子集个数为

a)1 b)2 c)3 d)4

分析:确定集合a*b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

解答:∵a*b={x|x∈a且x b}, ∴a*b={1,7},有两个元素,故a*b的子集共有22个。选d。

变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为

a)5个 b)6个 c)7个 d)8个

变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .

【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

∴ ∴

变式:已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.

解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足:a∪b={x|x>-2},且a∩b={x|1

分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。

解答:a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。

综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

变式1:若a={x|x3+2x2-8x>0},b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

变式2:设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。

解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②

综①②得:所求集合为{-1,0, }

【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。

分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

解答:(1)若 , 在 内有有解

令 当 时,

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答:

点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

【第2篇】高一数学知识点总结集合

一.知识归纳:

1.集合的有关概念。

1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);

2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )

3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}

4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}

5)补集:CUA={x| x A但x∈U}

注意:①? A,若A≠?,则? A ;

②若 , ,则 ;

③若 且 ,则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

二.例题讲解:

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一:从判断元素的共性与区别入手。

解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}

对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。

分析二:简单列举集合中的元素。

解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

变式:设集合 , ,则( B )

A.M=N B.M N C.N M D.

解:

当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

A)1 B)2 C)3 D)4

分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

∴ ∴

变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。

综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②

综①②得:所求集合为{-1,0, }

【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

解答:(1)若 , 在 内有有解

令 当 时,

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答:

点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

【第3篇】2023年高一数学知识点总结

高一数学必修一知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上的山

(2)元素的互异性如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

注意:常用数集及其记法:x kb 1.c om

非负整数集(即自然数集) 记作:n

正整数集 :n*或 n+

整数集: z

有理数集: q

实数集: r

1)列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xr|x-3>2} ,{x|x-3>2}

3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) venn图:

4、集合的分类:

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意: 有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a

2.“相等”关系:a=b (5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设 a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即:① 任何一个集合是它本身的子集。aa

② 真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集,记作a b(或b a)

③ 如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同时 ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数:

有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作a b(读作‘a交b’),即a b={x|x a,且x b}.

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a b(读作‘a并b’),即a b ={x|x a,或x b}).

设s是一个集合,a是s的一个子集,由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)

记作 ,即

csa=

质 a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b a

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ.

二、函数的有关概念

1.函数的概念

设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作: y=f(x),x∈a.其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈a }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:

在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈a)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(x,y)的集合c,叫做函数 y=f(x),(x ∈a)的图象.c上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在c上 .

(2) 画法

1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a b为从集合a到集合b的一个映射。记作“f(对应关系):a(原象) b(象)”

对于映射f:a→b来说,则应满足:

(1)集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是的;

(2)集合a中不同的元素,在集合b中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),则 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(a) 定义法:

(1)任取x1,x2∈d,且x1

(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

(3)变形(通常是因式分解和配方);

(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性).

(b)图象法(从图象上看升降)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11.函数(小)值

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

○2 利用图象求函数的(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第三章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ *.

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。

当 是奇数时, ,当 是偶数时,

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1) · ;

(2) ;

(3) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为r.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>1 0<1

定义域 r 定义域 r

值域y>0 值域y>0

在r上单调递增 在r上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;

(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;

(3)对于指数函数 ,总有 ;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:

一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)

说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;

○2 ;

○3 注意对数的书写格式.

两个重要对数:

○1 常用对数:以10为底的对数 ;

○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

= n = b

底数

指数 对数

(二)对数的运算性质

如果 ,且 , , ,那么:

○1 · + ;

○2 - ;

○3 .

注意:换底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).

利用换底公式推导下面的结论:(1) ;(2) .

(3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 , ③、对数恒等式

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

○2 对数函数对底数的限制: ,且 .

2、对数函数的性质:

a>1 0<1

定义域x>0 定义域x>0

值域为r 值域为r

在r上递增 在r上递减

函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)

(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;

(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.

3、函数零点的求法:

○1 (代数法)求方程 的实数根;

○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数 .

(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.

5.函数的模型

【第4篇】高一数学知识点总结(定理)

导语人生要敢于理解挑战,经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛,才能够实现自我无限的超越,才能够创造魅力永恒的价值。以下是高一频道为你整理的《高一数学知识点总结(定理)》,希望你不负时光,努力向前,加油!

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9同位角相等,两直线平行

10内错角相等,两直线平行

11同旁内角互补,两直线平行

12两直线平行,同位角相等

13两直线平行,内错角相等

14两直线平行,同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论(aas)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h

83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(asa)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas)

94判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(sss)

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线l和⊙o相交d

②直线l和⊙o相切d=r

③直线l和⊙o相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>r+r②两圆外切d=r+r

③两圆相交r-rr)

④两圆内切d=r-r(r>r)⑤两圆内含dr)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为

360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式:l=nπr/180

145扇形面积公式:s扇形=nπr2/360=lr/2

146内公切线长=d-(r-r)外公切线长=d-(r+r)

147等腰三角形的两个底脚相等

148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

149如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

150三条边都相等的三角形叫做等边三角形

【第5篇】两个平面的位置关系高一数学知识点总结

两个平面的位置关系高一数学知识点总结

两个平面的位置关系:

(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系:

两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。

b、相交

二面角(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的'图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0,180]

(3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为

两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

attention:

二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)

【第6篇】高一数学知识要点与公式总结

高一数学知识要点与公式总结

一、集合与简易逻辑:

1)、 理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。

(2)集合与元素的关系用符号 , 表示。

(3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。

(4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。

(5)空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

2)、 集合中元素的个数的计算: (1)若集合 中有 n个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 。

3)、 若 ; 则 是 的充分非必要条件 ;

若 ; 则 是 的必要非充分条件 ;

若 ; 则 是 的充要条件 ;

若 ; 则 是 的既非充分又非必要条件 ;

4)、 原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的. ;

5)、 反证法:当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,

步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。

矛盾的1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

否定

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个

否定

二、函数

1)、映射与函数:

(1)映射的概念:

(2)一一映射:

(3)函数的概念:

2)、函数的三要素: , , 。

(1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:

(2)函数定义域的求法: 含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。

(3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;②逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围;④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法:利用平均值不等式公式来求值域;⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

3)、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。

应用:比较大小,证明不等式,解不等式。

奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。

周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+t)=f(x),则t为函数f(x)的周期。

其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.

应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。

4)、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考)

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意:(?)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。

(?)会结合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称

y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称

y=f(x)→y=fx,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=f(x)把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数)

伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

5)、反函数:

(1)定义:

(2)函数存在反函数的条件: ;

(3)互为反函数的定义域与值域的关系: ;

(4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择;②将 互换,得 ;③写出反函数的定义域(即 的值域)。

(5)互为反函数的图象间的关系:

(6)原函数与反函数具有相同的单调性;

(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。

三、数列

本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类;

③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整

体思想求解.

(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

1)、基本概念:

1、 数列的定义及表示方法:

2、 数列的项与项数:

3、 有穷数列与无穷数列:

4、 递增(减)、摆动、循环数列:

5、 数列{an}的通项公式an:

6、 数列的前n项和公式sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构:

三角形面积公式

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形,也叫三边形。

面积公式:

(1)s=ah/2

(2).已知三角形三边a,b,c,则 (海伦公式)(p=(a+b+c)/2)

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角c,则s=1/2 * absinc

(4).设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r

s=(a+b+c)r/2

(5).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r

s=abc/4r

(6).根据三角函数求面积:

s= absinc/2 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

注:其中r为外切圆半径。

【第7篇】高一数学知识点总结:函数的有关概念

函数的有关概念

1.函数的概念:设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作: y=f(x),x∈a.其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈a }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈a)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(x,y)的集合c,叫做函数 y=f(x),(x ∈a)的图象.c上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在c上 .

(2) 画法

a、描点法:

b、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a b为从集合a到集合b的一个映射。记作“f(对应关系):a(原象) b(象)”

对于映射f:a→b来说,则应满足:

(1)集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是的;

(2)集合a中不同的元素,在集合b中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),则 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(a) 定义法:

1 任取x1,x2∈d,且x1

2 作差f(x1)-f(x2);

3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性).

(b)图象法(从图象上看升降)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤:

○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10.函数(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

2 利用图象求函数的(小)值

3 利用函数单调性的判断函数的(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

【第8篇】高一数学知识点归纳总结

导语高一新生要作好充分思想准备,以自信、宽容的心态,尽快融入集体,适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住:是你主动地适应环境,而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学知识点归纳总结》,希望你不负时光,努力向前,加油!

1.高一数学知识点归纳总结

定义:

从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点。常用直线向上方向与x轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于x轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直,也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标,称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。在空间,两个平面相交时,交线为一条直线。因此,在空间直角坐标系中,用两个表示平面的三元一次方程联立,作为它们相交所得直线的方程。

表达式:

斜截式:y=kx+b

两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)

点斜式:y-y1=k(x-x1)

截距式:(x/a)+(y/b)=0

补充一下:最基本的标准方程不要忘了,ax+by+c=0,

因为,上面的四种直线方程不包含斜率k不存在的情况,如x=3,这条直线就不能用上面的四种形式表示,解题过程中尤其要注意,k不存在的情况。

2.高一数学知识点归纳总结

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。

(7)函数总是通过(0,1)这点。

(8)显然指数函数xx。

3.高一数学知识点归纳总结

定义:

形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域

性质:

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是r,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;

排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

4.高一数学知识点归纳总结

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像c1与c2的对称性,即证明c1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c2上,反之亦然;

(3)曲线c1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线c2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线c1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线c2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈r时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈r时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈r时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈d(d为f(x)的值域);

a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈r+);

(2)logan=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogan=n(a>0,a≠1,n>0);

6.判断对应是否为映射时,抓住两点:

(1)a中元素必须都有象且;

(2)b中元素不一定都有原象,并且a中不同元素在b中可以有相同的象;

7.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

8.对于反函数,应掌握以下一些结论:

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为a,值域为b,则有f[f--1(x)]=x(x∈b),f--1[f(x)]=x(x∈a);

9.处理二次函数的问题勿忘数形结合

二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

10.依据单调性

利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

5.高一数学知识点归纳总结

(1)直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。

②过两点的直线的斜率公式:

注意下面四点:

(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;

(2)k与p1、p2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

【第9篇】苏教版高一数学知识点总结

学习目标

1.了解曲线的方程的概念;

2.通过具体实例研究,掌握求曲线方程的一般步骤;

3.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题.

一、预习检查

1.观察下表中的方程与曲线,说明它们有怎样的关系:

序号方程曲线

1

2.条件甲:曲线是方程的曲线.条件乙:曲线上点的坐标都是方程的解.甲是乙的什么条件?

3.长为的线段的两端点分别在互相垂直的两条直线上滑动,求线段的中点的轨迹.

4.求平面内到两定点的距离之比等于2的动点的轨迹方程.

二、问题探究

探究1.我们已经建立了直线的方程,圆的方程及圆锥曲线的方程.那么,对于一般的曲线,曲线的方程的含义是什么?

探究2.回忆建立椭圆,双曲线,抛物线方程的过程,写出求曲线方程的一般步骤;

例1.(1)动点满足关系式:,试解释关系式的几何意义并求动点的轨迹方程.

(2)试画出所表示的曲线.

例2.已知△一边的两个端点是和,另两边所在直线的斜率之积是,求顶点的轨迹方程.

例3.(理科)设直线与双曲线交于两点,且以为直径的圆过原点,求点的轨迹方程.

三、思维训练

1.一个动点p在圆上移动时,它与定点m连线中点的轨迹方程是.

2.在直角坐标系中,,则点的轨迹方程是.

3.点是以为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠的外角平分线的垂线,垂足为,点的轨迹是.

4.一动圆与定圆相切,且该动圆过定点.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)过点的直线与轨迹交于不同的两点,

求的取值范围.

四、课后巩固

1.已知点在以原点为圆心的单位圆上运动,则点的轨迹是.

2.坐标平面上有两个定点和动点,如果直线的斜率之积为定值,则点的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.

试将正确的序号填在直线上.

3.设定点是抛物线上的任意一点,定点,,则点的轨迹方程是.

4.求焦点在轴上,焦距是4,且经过点的椭圆的标准方程.

5.(理科)已知直角坐标平面上点和圆:,动点到圆的切线长与的比等于常数,求动点的轨迹.

【第10篇】人教版高一数学知识点总结

导语我们最孤独的,不是缺少知己,而是在心途中迷失了自己,忘了来时的方向与去时的路;我们最痛苦的,不是失去了曾经的珍爱,而是灵魂中少了一方宁静的空间,慢慢在浮躁中遗弃了那些宝贵的精神;我们最需要的,不是别人的怜悯或关怀,而是一种顽强不屈的自助。你若不爱自己,没谁可以帮你。高一频道为你正在奋斗的你整理了《人教版高一数学知识点总结》希望可以帮到你!

指数函数

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。

(7)函数总是通过(0,1)这点。

(8)显然指数函数*。

奇偶性

定义

一般地,对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:

定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱。

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如五棱台

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,。当时,;当时,不存在。

②过两点的直线的斜率公式:

注意下面四点:

(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;

(2)k与p1、p2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

幂函数

定义:

形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域

性质:

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是r,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;

排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

【第11篇】立体几何高一数学知识点总结

立体几何高一数学知识点总结

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:

定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱。

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的.几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如五棱台

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

【第12篇】高一数学知识点总结

高一数学知识点总结

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上最高的山

(2)元素的互异性如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:n

正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r

1)列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的'方法。{xr| x-3>;2} ,{x| x-3>;2}

3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4)venn图:

4、集合的分类:

有限集 含有有限个元素的集合

无限集 含有无限个元素的集合

空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba

2.“相等”关系:a=b (5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设 a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即:① 任何一个集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)

③如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同时 ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

【第13篇】函数定义域函数值域高一数学知识点总结

函数定义域 函数值域高一数学知识点总结

(高中函数定义)设a,b是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:a--b为集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x属于集合a。其中,x叫作自变量,x的取值范围a叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。平时数学中,实行定义域优先的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手硬一手软,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的'取值情况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

范围与值域相同吗?

范围与值域是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。值域是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而范围则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:值域是一个范围,而范围却不一定是值域。

以上就是由数学网为您提供的高一数学知识点总结:函数定义域 函数值域,希望给您带来帮助!

【第14篇】高一数学知识点幂函数的总结

高一数学知识点关于幂函数的总结

幂函数定义:

形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域。

性质:

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是r,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

排除了为0与负数两种可能,即对于x>;0,则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能,即对于x<0和x>;0的所有实数,q不能是偶数;

排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:

如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数,0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到:

(1)所有的图形都通过(1,1)这点。

(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。

(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。

(6)显然幂函数无界。

趣谈平分

把饼那样的物体分成2等份,可以采用一个人切而让另一个人挑的办法,这样分的优点是很明显的。在第一个人看来,他必须把饼分成他认为价值相等的两部分,才能保证得到他应得的那一部分;而第二个人只要选取价值大的那一部分,或在两部分价值相等的情况下任选其中一部分,就能保证他得到他至少应得的那一部分。在这里,我们假定物体具有在分割时不会损失它的总价值。

若要把一个物体分成3或若干等份,我们可以采用这样的方法:这里以5个人分配来说明,对于任意多个分配者,分法大致是相同的。我们把这5个人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有权利从饼上割下任一部分;乙有把甲所割出的一块减少的自由,但没有人强迫他这样做;然后丙又有减少这一块的自由,这样继续下去。假定最后是戊接触这块饼,那么由戊拿走这块饼,然后把剩余的饼在甲乙丙丁四人之间平分。第二轮可一用同样的步骤把参加的人数减少到三,以此分配下去。现在我们来看,每一个参加分配的`人应如何做才能保证自己应得的那一部分归自己。在第一轮甲割下它认为值1/5的一块后,很可能没有人再去碰它而甲就达到值1/5的那一部分;在这种情况下,他没有做错。然而,如果有另一个或几个人减少了这块饼,那么最后接触到他的人就要得到它,所以甲当然认为价值超过/5的饼被留下由4个人平分,而他是这4个人中的一个。在第二轮甲照前面的办:如果他仍就是第一个,那么他割下认为有余下部分1/4价值的那一块。这个策略还不完全,我们还应指出一个分配者在他不是第一时应怎样做。假定乙认为甲所个下的部分太大,也就是比他估计的整个饼的1/5大了,那么他只要把它减少到他认为适当的大小;如果他成为最后一个减少这部分饼的人,他就得到了它,而且并没有做错,如果他没有得到它,那是因为在乙以后又有别的人接触了它。因而在乙以后的减小者中有一人要得到被乙认为是价值小于1/5的一块饼,所以乙在下一轮将参加分配他认为价值大于原来4/5的部分。现在方法就清楚了:如果你在任一轮中是n个分配者的第一个,那么不论放在你面前的是整个饼还是余下的部分,你总应该割下你认为价值时这部分饼的1/n的一块;如果你在这一轮中不是第一个,而且你看到由别人割下的一块比你估计的那部分饼的1/n大,那你就把它减小到1/n;如果割下的你估计的那部分饼的1/n小,那你就不要动它。这个方法保证每一个人得到他认为是应得的部分。 高中地理

在经济生活中,存在着另一种分配问题:分配的是不能分割的物体,如房子、家畜、家具、汽车、艺术品等。例如一笔遗产,包括:一座房子、一座磨坊和一辆汽车,要在享有同等继承权的四个继承人甲乙丙丁之间分配,需要一个公正人,请读者想一想,应如何去做?

高中数学再次梳理知识

1、再次梳理知识,及时查漏补缺

这阶段,许多考生备考状况是杂乱无章,没有头绪,心中无底,忐忑不安,效率低下。其实最需做的仍是梳理知识网,查漏补缺。一般来说,在梳理过程中难免会遇到不是很明白的地方,这时需翻书对照,防止概念错误。另外,要进行重要和典型问题的解题方法的归纳,只有这样才能以不变应万变,这里要注意各种方法的适用范围,防止只是形式的简单套用导致原理错误,比如在做数列问题时不要简单套用连续函数的性质,注意离散和连续函数的区别。

2、适量模拟练习,保持临考状态

考前50天一定要有针对性进行套卷训练,一是通过模拟可以查漏补缺,二是提高应试能力,包括答题技巧,心理调节。建议大家练几套有标准答案和评分标准的模拟卷(包括近几年高考卷),并且自批自改,在模拟练习时一定要了解评分标准,对照评分标准自我修正,提高得分的机会,力争减少无谓的失分,保证会做的不错不扣分,即使不完全会做,也应理解多少做多少,增加得分机会。

3、全科规划意识,突破偏文学科

冲刺阶段,一定要有全科规划意识,高考是看总分的,不管是强势学科还是弱势学科都要有相应的时间分配计划,做到重点学科重点突破。实践表明后期在记忆性学科上多下功夫,会立竿见影,象语文,英语,文综,生物等,考生应向这些学科适当倾斜。但是思维性强的学科,如数学,物理,若几天不做会上手慢,出错率高,因此在后期也应该安排一定的时间去做去练,保持一个良好的临考状态。

4、调整心理状态,争取笑到最后

高考临近,有些考生精神过度紧张,甚至病倒。因此提醒大家,防止两个极端的做法,一是彻底放松,破坏了长期形成的生物钟,会适得其反。另一个就是挑灯夜战,加班加点,导致考前过度疲劳,临考时打不起精神。建议考生,休息调整是必要的,但必须的是微调,特别要把兴奋状态逐步调整到上午9:00——11:30,下午3:00——5:00。高考前还要注意饮食的科学性和规律性,不能大吃大喝,宜清淡又要保证全面营养,总之,生活有节奏,亦张亦弛,保持心态平稳。同时考前保持必胜的信心是非常必要的,走进考场要信心百倍,即使遇到困难也不要慌张,自我暗示,及时调整,只要大家精心准备,充满自信,沉着应战,就一定能笑到最后!

三角函数的性质及三角恒等变形

一. 本周教学内容:三角函数的性质及三角恒等变形

考点梳理

一、本章内容

1. 角的概念的推广,弧度制.

2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式.

3. 两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切.

4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=asin(ωx )的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角.

5. 余弦定理、正弦定理.利用余弦定理、正弦定理解斜三角形.

二、本章考试要求

1. 理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算.

2. 掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、偶函数的意义.

3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

4. 能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= asin(ωx )的简图,理解a、ω、 的意义.

6. 会由已知三角函数值求角,并会用符号

命题研究

分析近五年的全国,有关三角函数的内容平均每年有25分,约占17%.的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求值,解决简单的综合问题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是命题的一个常考的基础性的题型.其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是跨章节的学科综合问题.的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新的考查.

如:福建卷的第17题设函数 ,

(2)若函数 的图象按向量 平移后得到函数 的图象,求实数 的值.此题“重视拓宽,开辟新领域”,将三角与向量交汇.

策略

三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出“和、差、倍角公式”的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点.第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度.当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜.由于三角函数解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势.总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力.

解答三角函数高考题的一般策略:

(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.

(2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系.

(3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化.

三角函数恒等变形的基本策略:

(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ sin2θ=tanx?cotx=tan45°等.

(2)项的分拆与角的配凑.如分拆项:sin2x 2cos2x=(sin2x cos2x) cos2x=1 cos2x;配凑角:α=(α β)-β,β= - 等.

(3)降次,即二倍角公式降次.

(4)化弦(切)法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切).

(5)引入辅助角.asinθ bcosθ= sin(θ ),这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定, 角的值由tan = 确定.

典型例题分析与解答

例1、

解法二:(从“名”入手,异名化同名)

的图像过点 ,且 的最大值为 的解析式;(2)由函数 图像经过平移是否能得到一个奇函数解析:(1) ,解得 ,

所以 ,将 的图像,再向右平移 单位得到 的图像先向上平移1个单位,再向右平移 单位就可以得到奇函数点评:本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识,这是高考命题的重点内容,应于以重视.

例3、为使方程 内有解,则 的取值范围是( )

分析一:由方程形式,可把该方程采取换元法,转化为二次函数:设sinx=t,则原方程化为 ,于是问题转化为:若关于 的一元二次方程 上有解,求 的取值范围,解法如下:

分析二: 上的值域.

解法如下:

点评:换元法或方程思想也是高考考查的重点,尤其是计算型试题.

例4、已知向量 的值.

所以 ;

(2) ,所以 ,所以 ,所以点评:本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换的基本技能,着重考查数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点.

例5、已知向量 ,向量 ,且 ,

(1)求向量 与向量 的夹角为 ,向量 为 依次成等差数列,求 的取值范围.

解析:(1)设 ,由 ,有 ①

向量 ,有 ,则 ②

由①、②解得:

(2)由 垂直知 ,

由 ,则 ,

例6、如图,某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地,△abc外的地方种草,△abc的内接正方形pqrs为一水池,其余的地方种花.若bc=a,∠abc=

(1)用a, 变化时,求 取最小值时的角解析:(1) ,则

固定,

函数 在 上是减函数,于是当 .

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例.通过引入角度,将图形的语言转化为三角函数的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数 的图象的一条对称轴方程是( )

a.

c. d.

2、下列函数中,以 为周期的函数是( )

a.

b.

d.

3、已知 等于( )

a.

4、已知 b.

c. d.

5、函数a、 b、 c、 d、

6、如图,半径为2的⊙m切直线ab于o点,射线oc从oa出发绕着o点顺时针方向旋转到ob.旋转过程中,oc交⊙m于p,记∠pmo为x,弓形pno的面积为 ,那么 的图象是( )

7、tan15°-cot15°=( )

a. 2 b. c. 4 d.

8、给出下列的命题中,其中正确的个数是( )

(1)存在实数α,使sinαcosα=1;

(2)存在实数α,使sinα cosα= ;

(3) 的值域为( )

a. b. c. 在下面哪个区间内是增函数( )

a. c.

11、若点p ]内

d.

12、定义在r上的函数 即是偶函数又是周期函数,若 的最小正周期是 ,且当 ,则 b. c.

二、填空题

13、 ,且当p点从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论:

; ,则其中所有正确结论的序号是 .

15、给出问题:已知 ,试判定 ,去分母整理可得 , .故 ,

(1)求函数 的奇偶性.

18、(1)已知: ,求证: 的最小值为0,求x的集合.

20、在 所对的边分别为 ,

(1)求 ,求 的最大值.

21、已知向量 ,函数 的周期为 ,当22、如图,足球比赛场的宽度为a米,球门宽为b米,在足球比赛中,甲方边锋沿球场边线,带球过人沿直线向前推进.试问:该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大?(注:图中表示乙方所守球门,所在直线为乙方底线,只考虑在同一平面上的情形).

试题答案

1、a 2、d 3、a 4、a 5、a 6、a

7、d 8、b 9、b 10、d 11、b 12、d

13、

17、解:(1) ,

定义域:r,最小正周期为 ;

(2) ,且定义域关于原点对称,

所以

(2)

当 ,

19、解: ,因为 ,有 ,

亦即 ,由 ,

解得 ,

当 ,最大值为0,不合题意,

当 ,最小值为0,

当 时,x的集合为:

(2) ,又 时, ,故 的最大值是 .

21、解:(1) 且最大值为1,所以 由 ;

(2)由(1)知,令 所以 是 的对称轴.

22、解:以l为x轴,d点为坐标原点,建立直角坐标系,

设ab的中点为m,则根据对称性有

设动点c的坐标为 ,记 ,

当且仅当 ,

故该边锋在距乙方底线 时起脚射门可命中角的正切值最大.

高一数学学习:集合大小定义的基本要求三

不过作为集合大小的定义,我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以,对于任何给定的两个集合a和b,或者a比b大,或者b比a大,或者一样大,这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。

最后,新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清楚的,所谓的“大”,也就是集合中的元素更多,有五个元素的集合要比有四个元素的集合大,在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的,否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。

经过精心的整理,有关“高一数学学习:集合大小定义的基本要求三”的内容已经呈现给大家,祝大家学习愉快!

学好高中数学也需阅读积累

阅读,在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句,而在数学中,则应抓住关键的词语。比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条:“当k>;0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限内,在每个象限内,自变量x逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。&rdquo 高中历史;这句话中,关键词语是“在每个象限内”,反比例函数的图像为双曲线,而这个性质是对于其中某一分支而言,并不是对整个函数来说的。所以在做题时,应注意到这一点。从这一实例来看,我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性。

积累,在语文中有利于写作,在数学中有利于解题。积累包括两方面:一、概念知识,二、错误的题目。脑子中多一些概念就多了一些思考的方法,多了一些解题的突破口,在做较难的题目时,也就得心应手了。积累错误的题目,指挑选一些自己平时易错或难懂的题目,记在本子上,在复习时,翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面还有所欠缺,应特别注意。所以积累对学好数学起着极大的作用。

自主复习最好各科交替进行

大部分区县都将实行全区统考,并将考生成绩进行大排队。这次考试将成为考生填报高考志愿的重要参考依据。考生对此非常重视。元旦假期,不少考生计划把时间都用来补习薄弱科目。

北京老师王梅生建议,在重点复习薄弱学科的同时,考生也要兼顾其他科目。不要在一大段时间内把精力全部用在某一科目上,这样容易造成头脑疲劳,影响复习效果。考生最好将各科交替进行,文理科兼顾,强弱科相间,单科与综合科目结合进行。

此外,考生最好将各科复习时间安排得与考试时间同步。比如,考试第一天上午考语文,下午考数学,第二天上午考综合,下午考英语。考生这几天最好上午复习语文与综合,下午复习数学与英语,这样有利于在相应的时间对相应科目产生兴趣,提高兴奋点。

提醒注意的是,考生在考前这几天,不要打乱原有的生物钟,尽量别开夜车复习,并注意把学习与休息相结合,保证8小时睡眠和适度体育锻炼。这样才能精力充沛,保证复习效果。

【第15篇】一次函数高一数学知识点总结

一次函数高一数学知识点总结

一、定义与定义式:

自变量x和因变量y有如下关系:

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

即:y=kx(k为常数,k0)

二、一次函数的性质:

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质:

1.作法与图形:通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线,可以作出一次函数的图像一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质:(1)在一次函数上的任意一点p(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k,b与函数图像所在象限:

当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

当b0时,直线必通过一、二象限;

当b=0时,直线通过原点

当b0时,直线必通过三、四象限。

特别地,当b=o时,直线通过原点o(0,0)表示的是正比例函数的图像。

这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式:

已知点a(x1,y1);b(x2,y2),请确定过点a、b的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点p(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b①和y2=kx2+b②

(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的'应用:

1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式:(部分)

1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

4.求任意线段的长:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

以上就是由数学网为您提供的高一数学知识点总结:一次函数,希望给您带来帮助!

【第16篇】《函数的对称性》高一数学知识点总结

《函数的对称性》高一数学知识点总结

一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 = f (x)的图像关于点a (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a-x) = 2b

证明:(必要性)设点p(x ,)是 = f (x)图像上任一点,∵点p( x ,)关于点a (a ,b)的对称点p'(2a-x,2b-)也在 = f (x)图像上,∴ 2b- = f (2a-x)

即 + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。

(充分性)设点p(x0,0)是 = f (x)图像上任一点,则0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-0 = f (2a-x0) 。

故点p'(2a-x0,2b-0)也在 = f (x) 图像上,而点p与点p'关于点a (a ,b)对称,充分性得征。

推论:函数 = f (x)的图像关于原点o对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0

定理2. 函数 = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

推论:函数 = f (x)的图像关于轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函数 = f (x) 图像同时关于点a (a ,c)和点b (b ,c)成中心对称(a≠b),则 = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。

②若函数 = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则 = f (x)是周期函数,且2 a-b是其一个周期。

③若函数 = f (x)图像既关于点a (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则 = f (x)是周期函数,且4 a-b是其一个周期。

①②的证明留给读者,以下给出③的证明:

∵函数 = f (x)图像既关于点a (a ,c) 成中心对称,

∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

又∵函数 = f (x)图像直线x =b成轴对称,

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得

f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

f (x) = f [4(a-b) + x],故 = f (x)是周期函数,且4 a-b是其一个周期。

二、 不同函数对称性的探究

定理4. 函数 = f (x)与 = 2b-f (2a-x)的图像关于点a (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数 = f (x)与 = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数 = f (x)与a-x = f (a-)的图像关于直线x + = a成轴对称。

③函数 = f (x)与x-a = f ( + a)的图像关于直线x- = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

设点p(x0 ,0)是 = f (x)图像上任一点,则0 = f (x0)。记点p( x ,)关于直线x- = a的`轴对称点为p'(x1, 1),则x1 = a + 0 , 1 = x0-a ,∴x0 = a + 1 , 0= x1-a 代入0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + 1) ∴点p'(x1, 1)在函数x-a = f ( + a)的图像上。

同理可证:函数x-a = f ( + a)的图像上任一点关于直线x- = a的轴对称点也在函数 = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论:函数 = f (x)的图像与x = f 的图像关于直线x = 成轴对称。

三、 三角函数图像的对称性列表

注:①上表中∈z

② = tan x的所有对称中心坐标应该是(π/2 ,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为 = tan x的所有对称中心坐标是( π, 0 ),这明显是错的。

四、 函数对称性应用举例

例1:定义在r上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届希望杯高二 第二试题)

(a)是偶函数,也是周期函数 (b)是偶函数,但不是周期函数

(c)是奇函数,也是周期函数 (d)是奇函数,但不是周期函数

解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。

故选(a)

例2:设定义域为r的函数 = f (x)、 = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线 = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。

(a) 1999; (b)2000; (c)2001; (d)2002。

解:∵ = f(x-1)和 = g-1(x-2)函数的图像关于直线 = x对称,

∴ = g-1(x-2) 反函数是 = f(x-1),而 = g-1(x-2)的反函数是: = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(c)

例3.设f(x)是定义在r上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,

f (x) = - x,则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题)

解:∵f(x)是定义在r上的偶函数∴x = 0是 = f(x)对称轴;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是 = f (x) 对称轴。故 = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4.函数 = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高考理) (a) x = - (b) x = - (c) x = (d) x =

解:函数 = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = +

∴x = - ,显然取 = 1时的对称轴方程是x = - 故选(a)

例5. 设f(x)是定义在r上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,

f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )

(a) 0.5 (b) -0.5 (c) 1.5 (d) -1.5

解:∵ = f (x)是定义在r上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是 = f (x) 对称轴,故 = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(b)